Question

3．如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=30mm，高AD=20mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上．
（1）求證：△AEF∽△ABC；
（2）設(shè)線段EG=a，EF=b，求a、b之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到何處時，矩形EGHF面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．
（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比列出比例式，即可求解；
（3）根據(jù)矩形面積公式得到關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求出矩形的最大值．

解答 解：（1）∵四邊形EGHF為矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；

（2）設(shè)線段EG=a，EF=b，
∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，$\frac{b}{30}$=$\frac{20-a}{20}$，
∴a、b之間的關(guān)系式為b=30-$\frac{3}{2}$a；

（3）∵矩形EGHF面積=ab=a（30-$\frac{3}{2}$a）=-$\frac{3}{2}$a²+30a=-$\frac{3}{2}$（a-10）²+150，
故當(dāng)a=10，即E點(diǎn)運(yùn)動到AB的三等分點(diǎn)（靠近A）時，矩形的面積最大，最大面積為150mm²．

點(diǎn)評 本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，利用矩形的面積公式得到關(guān)于a的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定a的取值和面積的最大值是解題關(guān)鍵．