Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．若BD=2，BE=3，則AC的長為9．

Answer 1

分析 連結AE，如圖，根據圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質即可得到BE=CE，連結DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用相似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．

解答 解：連結AE，DC，如圖，
∵AB=AC，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，DE=BE=CE，
∵AB=AC，
∴BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{3}{BA}=\frac{2}{6}$，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
故答案為：9．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．也考查了角平分線的性質和圓周角定理．