Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，⊙P經過x軸上一點C，與y軸分別交于A、B兩點，連接AP并延長分別交⊙P、x軸于點D、E，連接DC并延長交y軸于點F，若點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1）．
（1）求證：DC=FC；
（2）判斷⊙P與x軸的位置關系，并說明理由；
（3）求⊙P的半徑的長．

Answer 1

分析 （1）過點D作DH⊥x軸于點H，則∠CHD=∠COF=90°，根據點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1），得到DH=OF，證得△FOC≌△DHC，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）如圖，連接CP．根據AP=PD，DC=CF，得到CP∥AF，根據平行線的性質得到∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x軸．根據切線的判定即可得到結論；
（3）根據三角形的中位線的性質得到AF=2CP，由AD=2CP，等量代換得到AD=AF，連接BD．根據圓周角定理得到BD=OH=6，OB=DH=FO=1，設AD的長為x，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解答 （1）證明：過點D作DH⊥x軸于點H，則∠CHD=∠COF=90°，
∵點F的坐標為（0，1），點D的坐標為（6，-1），
∴DH=OF，
∵在△FOC與△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FCO=∠DCH}\\{∠FOC=∠DHC=90°}\\{OF=HD}\end{array}\right.$，
∴△FOC≌△DHC（AAS），
∴DC=FC；

（2）⊙P與x軸相切，
理由如下：
如圖，連接CP．
∵AP=PD，DC=CF，
∴CP∥AF，
∴∠PCE=∠AOC=90°，即PC⊥x軸．
又PC是半徑，
∴⊙P與x軸相切；

（3）解：由（2）可知，CP是△DFA的中位線，
∴AF=2CP，
∵AD=2CP，
∴AD=AF．連接BD．
∵AD是⊙P的直徑，
∴∠ABD=90°，
∴BD=OH=6，OB=DH=FO=1，
設AD的長為x，則在直角△ABD中，由勾股定理，得
x²=6²+（x-2）²，
解得 x=10，
∴⊙P的半徑為5．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．