Question

6．如圖，已知函數y=x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數y=kx+b的圖象經過點B（0，-1），與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點C、D，且點D的坐標為（1，n），
（1）則n=2，k=3，b=-1；
（2）函數y=kx+b的函數值大于函數y=x+1的函數值，則x的取值范圍是x＞1
（3）求四邊形AOCD的面積；
（4）在x軸上是否存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是直角三角形？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于直線y=x+1，令x=0求出y的值，確定出A的坐標，把B坐標代入y=kx+b中求出b的值，再將D坐標代入y=x+1求出n的值，進而將D坐標代入求出k的值即可；
（2）由兩一次函數解析式，結合圖象確定出x的范圍即可；
（3）過D作DE垂直于x軸，如圖1所示，四邊形AOCD面積等于梯形AOED面積減去三角形CDE面積，求出即可；
（4）在x軸上存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是直角三角形，理由為：分兩種情況考慮：①DP′⊥DC；②DP⊥CP，分別求出P坐標即可．

解答 解：（1）對于直線y=x+1，令x=0，得到y=1，即A（0，1），
把B（0，-1）代入y=kx+b中，得：b=-1，
把D（1，n）代入y=x+1得：n=2，即D（1，2），
把D坐標代入y=kx-1中得：2=k-1，即k=3，
故答案為：2，3，-1；
（2）∵一次函數y=x+1與y=3x-1交于D（1，2），
∴由圖象得：函數y=kx+b的函數值大于函數y=x+1的函數值時x的取值范圍是x＞1；
故答案為：x＞1；
（3）過D作DE⊥x軸，垂足為E，如圖1所示，

則S_{四邊形AOCD}=S_梯形AOED-S_△CDE=$\frac{1}{2}$（AO+DE）•OE-$\frac{1}{2}$CE•DE=$\frac{1}{2}$×（1+2）×1-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×2=$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{6}$；
（4）在x軸上存在點P，使得以點P，C，D為頂點的三角形是直角三角形，理由為：
如圖2所示，分兩種情況考慮：

①當P′D⊥DC時，可得k_P′D•k_DC=-1，
∵直線DC斜率為3，
∴直線P′D斜率為-$\frac{1}{3}$，
∵D（1，2），
∴直線P′D解析式為y-2=-$\frac{1}{3}$（x-1），
令y=0，得到x=7，即P′（7，0）；
②當DP⊥CP時，由D橫坐標為1，得到P橫坐標為1，
∵P在x軸上，
∴P的坐標為（1，0）．

點評 此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，直角三角形的性質，坐標與圖形性質，待定系數法確定一次函數解析式，利用了數形結合的思想，熟練掌握一次函數的性質是解本題的關鍵．