Question

16．如圖，等腰△ABC和等腰△ACD有一條公共邊AC，且頂角∠BAC和頂角∠CAD都是45°．將一塊三角板中用含45°角的頂點與A點重合，并將三角板繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時，三角板的兩邊與等腰三角形的兩底邊分別相交于M、N兩點，求證：AM=AN；
（2）當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，三角板的兩邊與等腰三角形兩底邊的延長線分別相交于M、N兩點，（1）的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°得∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC即∠BAM=∠CAN，證△BAM≌△CAN得AM=AN；
（2）與（1）同理可得．

解答 證明：（1）∵∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{∠B=∠ACN=67.5°}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（AAS），
∴AM=AN；

（2）成立．
∵∠BAC=∠CAD=∠MAN=45°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACN}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAM≌△CAN（AAS），
∴AM=AN．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．