Question

20．已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點A，B（點A在點B左側），其頂點為P，直線y=kx+b過拋物線與x軸的一個交點A，且與拋物線相交的另外一個交點為C，若S_△ABC=10，請你回答下列問題：
（1）求直線的解析式；
（2）求四邊形APBC的面積．

Answer 1

分析 （1）令y=0，則x²-2x-3=0，得到A（-1，0），B（3，0），設C（m，m²-2m-3），根據三角形的面積得到C（4，5）或（-2，5），解方程組即可得到結論；
（2）根據拋物線的解析式得到P（1，-4），根據三角形的面積公式即可得到結論．

解答 解：（1）令y=0，則x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
設C（m，m²-2m-3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×|m²-2m-3|=10，
∴m=4或m=-2，
∴C（4，5）或（-2，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{5=4k+b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{5=-2k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直線的解析式為：y=x+1或y=-5x-5；
（2）如圖，∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴P（1，-4），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴四邊形APBC的面積=S_△ABC+S_△ABP=$\frac{1}{2}$×4×5+$\frac{1}{2}$×4×4=18．

點評 本題考查了二次函數的圖象的性質的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，拋物線與x軸的交點坐標的運用，解答時求出點C的坐標是關鍵．