Question

20．如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，以AB為直徑的圓交BC于點F，以C為圓心，CF的長為半徑作圓，D是⊙C上一動點，E為BD的中點，當AE最大時，BD的長為（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{3}$+1
• D． 6

Answer 1

分析 點E在以F為圓心的圓上運到，要使AE最大，則AE過F，根據等腰三角形的性質和圓周角定理證得F是BC的中點，從而得到EF為△BCD的中位線，根據平行線的性質證得CD⊥BC，根據勾股定理即可求得結論．

解答 解：點D在⊙C上運動時，點E在以F為圓心的圓上運到，要使AE最大，則AE過F，
連接CD，∵△ABC是等邊三角形，AB是直徑，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中點，
∵E為BD的中點，
∴EF為△BCD的中位線，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC=4，CD=2，
故BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，
故選B．

點評 本題主要考查了等邊三角形的性質，圓周角定理，三角形中位線的性質，勾股定理，正確的作出輔助圓是解題的關鍵．