Question

1．閱讀理解：為了求1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰的值，可M=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰，則3M=3+3²+3³+3⁴+…+3¹⁰¹，因此3M-M=3¹⁰¹-1．所以M=$\frac{{{3^{101}}-1}}{2}$，即1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰=$\frac{{{3^{101}}-1}}{2}$．問(wèn)題解決：仿照上述方法求下列式子的值．
（1）1+4+4²+4³+…+4²⁰．
（2）5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目信息，設(shè)S=1+4+4²+4³+…+4²⁰ ，求出4S，然后相減計(jì)算即可得解；
（2）設(shè)P=5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶，求出5P，兩式相減計(jì)算即可得．

解答 解：（1）設(shè)S=1+4+4²+4³+…+4²⁰ ①，
則4S=4+4²+4³+…+4²⁰+4²¹  ②，
②-①得：3S=4²¹-1，
∴S=$\frac{{4}^{21}-1}{3}$，即1+4+4²+4³+…+4²⁰=$\frac{{4}^{21}-1}{3}$；

（2）設(shè)P=5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶ ①，
則5P=5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁷ ②，
②-①得：4P=5²⁰¹⁷-5¹⁰¹，
∴P=$\frac{{5}^{2017}-{5}^{101}}{4}$，即5¹⁰¹+5¹⁰²+5¹⁰³+…+5²⁰¹⁶=$\frac{{5}^{2017}-{5}^{101}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有理數(shù)的乘方和數(shù)字的變化類，讀懂題目信息，理解求和的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．