Question

13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=BD=10cm，點P由
點B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發沿DA方向以相同的速度勻速運動，交BD于點Q，連結PE、PF，若設運動時間為t （s）（0＜t≤5s）．
（1）填空：PD=（10-t）cm （用含t的代數式表示）；
（2）當t為何值時，P與Q的重合？
（3）在整個運動的過程中，以P、F、C、D、E為頂點的多邊形的面積是否發生變化，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用BC=BD=10cm，點P由點B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s，即可表示出PD的長；
（2）當E、P、F三點在同一條直線上時，P與Q的重合，根據BP=BF，得出10-t=t，進而得出t的值；
（3）根據DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，判定△PDE≌△FBP（SAS），再根據S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD，即可得出在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變．

解答 解：（1）∵點P由點B出發沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s，
∴BP=t，
又∵BC=BD=10cm，
∴PD=10-t；
故答案為：10-t；

（2）當E、P、F三點在同一條直線上時，點P與點Q重合，如圖2，
∵BC=BD
∴∠C=∠BDC
∵EF∥DC
∴∠BFQ=∠C，∠BQF=∠BDC
∴∠BFQ=∠BQF，
∴BP=BF，
又∵CF∥DE，EF∥CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴CF=DE=t，
∴BF=10-t，
∴BP=10-t，
由（1）可得，BP=t，
∴10-t=t，
解得t=5（符合題意）；

（3）五邊形PFCDE的面積不發生變化，理由如下：
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，AD∥BC，
∴∠PDE=∠FBP，
在△PDE與△FBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BP}\\{∠PDE=∠FBP}\\{PD=BF}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
∴S_{五邊形PFCDE}=S_△PDE+S_{四邊形PFCD=}S_△FBP+S_{四邊形PFCD}=S_△BCD．
∵S_△BCD不變，
∴在運動過程中，五邊形PFCDE的面積不變．

點評 本題屬于四邊形綜合題，主要考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質的綜合應用．利用全等三角形的性質得出S_△PDE=S_△FBP是解第（3）問的關鍵．