Question

9．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+2x交x軸的負(fù)半軸于A，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)線段的一個(gè)端點(diǎn)正好落在拋物線的頂點(diǎn)處，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的α的值是30°或150°．

Answer 1

分析 首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及AO的長(zhǎng)，再利用平移的性質(zhì)結(jié)合AO只是左右平移，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度．

解答 解：由題意可得：y=$\frac{1}{2}{x^2}$+2x=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2，
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，-2），
當(dāng)y=0時(shí)，0=$\frac{1}{2}$（x+2）²-2
解得：x₁=0，x₂=4，
故AO=4，
∵將線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），再沿水平方向向右或向左平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)線段的一個(gè)端點(diǎn)正好落在拋物線的頂點(diǎn)處，
∴旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′到x軸的距離為：2，
如圖，過點(diǎn)A′作A′C⊥x軸于點(diǎn)C，
當(dāng)∠COA′=30°，
則CA′=$\frac{1}{2}$A′O=2，
故α為30°時(shí)符合題意，
同理可得：α為150°時(shí)也符合題意，
綜上所述：所有符合題意的α的值是30°或150°．
故答案為：30°或150°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及旋轉(zhuǎn)與平移變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．