Question

3．如圖1，在四邊形ABCD中，已知：AD=BC，點E、F分別是AB、CD的中點，AB、CD的垂直平分線交于點G，連接AG、BG、CG、DG．
（1）求證：∠AGD=∠BGC；
（2）求證：△AGD∽△EGF；
（3）如圖2，連接BF、ED，求證：S_△GBF=S_△GED．

Answer 1

分析 （1）由GE是AB的垂直平分線，得到GA=GB，同理：GD=GC，根據全等三角形的性質即刻得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{GD}$，根據相似三角形的判定定理即刻得到結論；
（3）根據相似三角形的性質得到$\frac{GB}{GD}=\frac{GE}{GF}$，即 GB•GF=GE•GD，由于S_△GBF=$\frac{1}{2}$GB•GF•sin∠BGF，S_△GED=$\frac{1}{2}$GE•GD•sin∠EGD，于是得到結論．

解答 解：（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，
∴GA=GB，
同理：GD=GC，
在△AGD和△BGC中，$\left\{{\begin{array}{l}{GA=GB}\\{GD=GC}\\{AD=BC}\end{array}}\right.$，
∴△AGD≌△BGC（SSS），
∴∠AGD=∠BGC；

（2）證明：∵∠AGD=∠BGC，
∴∠AGB=∠DGC，
在△AGB和△DGC中，$\frac{GA}{GD}=\frac{GB}{GC}$，
∴△AGB∽△DGC，$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{GD}$，
又∵∠AGE=∠DGF，
∴∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；

（3）∵△GAB∽△GCD，
∴$\frac{GB}{GD}=\frac{GE}{GF}$，即 GB•GF=GE•GD，
∵GE垂直平分AB，
∴AG=BG，
∴∠AGE=∠BGE，
∵∠AGD=∠EGF，
∴∠DGE=∠BGF，
∵S_△GBF=$\frac{1}{2}$GB•GF•sin∠BGF，S_△GED=$\frac{1}{2}$GE•GD•sin∠EGD，
∴S_△GBF=S_△GED．

點評 本題考查了全等三角形的判斷和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的面積的計算，線段垂直平分線的性質，證得△GAB∽△GCD是解題的關鍵．