Question

1．如圖，正方形ABCD中，點E在邊AD上，點F在邊CD上，AE=CF，EH⊥BF于點G，連接DG．
（1）若DE=6，tan∠FBC=$\frac{1}{3}$，求BF的長；
（2）求證：EG+FG=$\sqrt{2}$DG．

Answer 1

分析 （1）設正方形的邊長為3a．則BC=AD=3a，由tan∠FBC=$\frac{1}{3}$=$\frac{FC}{BC}$，推出AE=FC=a，DE=AD-AE=2a，由DE=6，可得2a=6，求得a=3，在Rt△BFC中，根據BF=$\sqrt{C{F}^{2}+B{C}^{2}}$計算即可．
（2）作DM⊥DG交BF的延長線于M，只要證明△EDG≌△FDM，推出DG=DM，EG=FM，推出△DGM是等腰直角三角形，推出GM=$\sqrt{2}$DG，即可證明．

解答 （1）解：設正方形的邊長為3a．則BC=AD=3a，
∵tan∠FBC=$\frac{1}{3}$=$\frac{FC}{BC}$，
∴AE=FC=a，DE=AD-AE=2a，
∵DE=6，
∴2a=6，
∴a=3，
在Rt△BFC中，BF=$\sqrt{C{F}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{10}$．

（2）證明：作DM⊥DG交BF的延長線于M．
∵∠GDM=∠ADC=90°，
∴∠EDG=∠FDM，
∵∠DEG+∠DFG=180°，∠DFG+∠DFM=180°，
∴∠DEG=∠DFM，
∵AD=DC，AE=CF，
∴DE=DF，
在△DEG和△DFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠DFM}\\{DE=DF}\\{∠EDG=∠MDF}\end{array}\right.$，
∴△EDG≌△FDM，
∴DG=DM，EG=FM，
∴△DGM是等腰直角三角形，
∴GM=$\sqrt{2}$DG，
∵GM=FG+FM=FG+EG，
∴EG+FG=$\sqrt{2}$DG．

點評 南通考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、等腰直角三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．