Question

13．我們知道：分式和分數有著很多的相似點，如類比分數的基本性質，我們得到了分式的基本性質：類比分數的運算法則，我們得到了分式的運算法則，等等．小學里，把分子比分母小的分數叫做真分數．類似地，我們把分子整式的次數小于分母整式的次數的分式稱為真分式；反之，稱為假分式，對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式．
如：$\frac{x+1}{x-1}$=$\frac{x-1+2}{x-1}$=$\frac{x-1}{x-1}$+$\frac{2}{x-1}$=1+$\frac{2}{x-1}$；
$\frac{2x-3}{x+1}$=$\frac{2x+2-5}{x+1}$=$\frac{2x+2}{x+1}$+$\frac{-5}{x+1}$=2+（-$\frac{5}{x+1}$）．
（1）下列分式中：①$\frac{x-1}{x+1}$，②$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，③$\frac{4y}{2{y}^{2}+1}$，④$\frac{{m}^{2}+3}{{m}^{2}-1}$，屬于真分式的是③（填序號）；
（2）將假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$化成整式與真分式的和的形式為：
$\frac{4a+5}{2a-1}$=2+$\frac{7}{2a-1}$，若假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值為整數，則整數a的值為1或0或4或-3；
（3）將假分式$\frac{{a}^{2}-3}{a+1}$化成整式與真分式的和的形式．

Answer 1

分析 （1）根據真分式的定義即可作出判斷；
（2）利用例題的方法即可將假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$化成整式與真分式的和，假分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值為整數，則化成整式與真分式的和后，所得真分式的分母是分式的分子的因數，據此列方程求解；
（3）把分式的分子利用含分母的式子表示出來，先化成整式與分子和分母同此的形式，然后化成真分式的形式．

解答 解：（1）根據真分式的定義，滿足條件的只有③，故答案是③；
（2）$\frac{4a+5}{2a-1}$=$\frac{4a-2+7}{2a-1}$=$\frac{4a-2}{2a-1}$+$\frac{7}{2a-1}$．
若分式$\frac{4a+5}{2a-1}$的值為整數，則2a-1=±1或±7，則a=1或0或4或-3．
故答案是：2； $\frac{2}{2a-1}$； 1或0或4或-3；
（3）$\frac{{a}^{2}-3}{a+1}$=$\frac{{a}^{2}+a-a-3}{a+1}$=$\frac{a（a+1）}{a+1}$+$\frac{a-3}{a+1}$=a+$\frac{a+1-4}{a+1}$=a+$\frac{a+1}{a+1}$-$\frac{4}{a+1}$=a+1-$\frac{4}{a+1}$．

點評 本題考查了分式的化簡，正確理解題意，理解把假分式化成真分式的思路是關鍵．