Question

16．如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D關于直線AE的對稱點為F，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）求證：△ABD≌△ACF；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE²=BD²+CE²；
（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式DE²=BD²+CE²還能成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱的性質，可得EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，再利用等式的性質，判斷出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD≌△ACF；
（2）根據（1）得出的全等三角形對應邊相等，可得CF=BD，根據全等三角形對應角相等，可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；
（3）結合（1）、（2）的方法即可判斷出等式DE²=BD²+CE²還成立．

解答 解：（1）∵點D關于直線AE的對稱點為F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，
∴∠CAE+∠CAF=α，
∵∠BAC=2∠DAE=2α，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS）；

（2）由（1）知，△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²；

（3）等式DE²=BD²+CE²還成立．
理由：如圖，∵∠BAC=2∠DAE=2α，
∴∠DAE=α，
∵點D關于直線AE的對稱點為F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，
∴∠CAF=∠EAF+∠CAE=α+∠CAE，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=2α-∠DAC=2α-（∠DAE-∠CAE）=2α-（α-∠CAE）=α+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²，

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了軸對稱的性質，同角的余角相等的性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合應用，判斷出△ABD≌△ACF是解題的關鍵，運用類比思想是解本題的重點．