Question

18．如圖，直線l：y=-0.5x+2與x軸、y軸相交于點A，B．OC是∠ABO的角平分線．
（1）求點A，點B的坐標．
（2）求線段OC的長．
（3）點P在直線CO上，過點P作直線m（不與直線l重合），與x軸，y軸分別交于點M，N，若△OMN與△ABO全等，求出點P坐標．

Answer 1

分析 （1）對于直線l：y=-0.5x+2，令x=0，得y=2，令y=0得到x=4，即可求得A、B兩點坐標．
（2）如圖作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．由OC平分∠AOB，推出CE=CF，時CE=CF=x，由CE∥OB，推出$\frac{EC}{OB}$=$\frac{AE}{AO}$，可得$\frac{x}{2}$=$\frac{4-x}{4}$，解得x=$\frac{4}{3}$，在Rt△OCE中，根據OC=$\sqrt{2}$CE計算即可．
（3）①當過點P₁的直線交x軸于M₁（4，0），交y軸于N₁（0，-2），此時點P₁滿足條件．②作△AOB關于直線OC的對稱△OM₂N₂，直線M₂N₂與直線OC交于點P₂，點P₂滿足條件．③根據對稱性可得P₃、P₄也滿足條件．

解答 解：（1）對于直線l：y=-0.5x+2，令x=0，得y=2，令y=0得到x=4，
∴A（4，0），B（0，2）．

（2）如圖作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．

∵OC平分∠AOB，
∴CE=CF，時CE=CF=x，
∵CE∥OB，
∴$\frac{EC}{OB}$=$\frac{AE}{AO}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴x=$\frac{4}{3}$，
在Rt△OCE中，∵∠COE=45°，
∴CE=OE=$\frac{4}{3}$，OC=$\sqrt{2}$CE=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

（3）

①當過點P₁的直線交x軸于M₁（4，0），交y軸于N₁（0，-2），
∴直線M₁N₁的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴P₁（-4，-4）．
②作△AOB關于直線OC的對稱△OM₂N₂，直線M₂N₂與直線OC交于點P₂，
∵直線M₂N₂的解析式為y=-2x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴P₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
③根據對稱性可知，P₁、P₂關于原點的對稱點P₄（4，4），P₃（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$）也滿足條件．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（-4，-4）或（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{3}$）或（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）或（4，4）．

點評 本題考查一次函數綜合題、平行線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．