Question

2．如圖，C為射線AB上一點，AB=30，AC比BC的$\frac{1}{4}$多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結論：
①BC=2AC；②AB=4NQ；③當PB=$\frac{1}{2}$BQ時，t=12，其中正確結論的個數是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據AC比BC的$\frac{1}{4}$多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當P與Q重合時，此時t=30s，當P到達B時，此時t=15s，最后分情況討論點P與Q的位置．

解答 解：設BC=x，
∴AC=$\frac{1}{4}$x+5
∵AC+BC=AB
∴x+$\frac{1}{4}$x+5=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①成立，
∵AP=2t，BQ=t，
當0≤t≤15時，
此時點P在線段AB上，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∵M是BP的中點
∴MB=$\frac{1}{2}$BP=15-t
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
∵N為QM的中點，
∴NQ=$\frac{1}{2}$QM=$\frac{15}{2}$，
∴AB=4NQ，
當15＜t≤30時，
此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵M是BP的中點
∴BM=$\frac{1}{2}$BP=t-15
∵QM=BQ-BM=15，
∵N為QM的中點，
∴NQ=$\frac{1}{2}$QM=$\frac{15}{2}$，
∴AB=4NQ，
當t＞30時，
此時點P在Q的右側，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵M是BP的中點
∴BM=$\frac{1}{2}$BP=t-15
∵QM=BQ-BM=15，
∵N為QM的中點，
∴NQ=$\frac{1}{2}$QM=$\frac{15}{2}$，
∴AB=4NQ，
綜上所述，AB=4NQ，故②正確，
當0＜t≤15，PB=$\frac{1}{2}$BQ時，此時點P在線段AB上，
∴AP=2t，BQ=t
∴PB=AB-AP=30-2t，
∴30-2t=$\frac{1}{2}$t，
∴t=12，
當15＜t≤30，PB=$\frac{1}{2}$BQ時，此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側，
∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP-AB=2t-30，
∴2t-30=$\frac{1}{2}$t，
t=20，
當t＞30時，此時點P在Q的右側，
∴AP=2t，BQ=t，
∴PB=AP-AB=2t-30，
∴2t-30=$\frac{1}{2}$t，
t=20，不符合t＞30，
綜上所述，當PB=$\frac{1}{2}$BQ時，t=12或20，故③錯誤；
故選（C）

點評 本題考查兩點間的距離，解題的關鍵是求出P到達B點時的時間，以及點P與Q重合時的時間，涉及分類討論的思想．