Question

16．已知二次函數(shù)y=mx²+（3m+1）x+3．
（1）當(dāng)m取何值時，此二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）當(dāng)拋物線y=mx²+（3m+1）x+3與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)時，求此拋物線的表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式，直接計算即可；
（2）根據(jù)求根公式，求出兩根，由拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)都為正整數(shù)，求出m的值，可得拋物線解析式．

解答 解：（1）由題意可知，△=b²-4ac=（3m+1）²-4m×3=（3m-1）²＞0，
解得：m≠$\frac{1}{3}$，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，
∴m≠0，
∴當(dāng)m≠$\frac{1}{3}$且m≠0時，此二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；

（2）有求根公式，得：x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（3m+1）±\sqrt{（3m+1）^{2}-12m}}{2m}$，
∴x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴m=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3；

點評 本題主要考查了拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即相應(yīng)的一元二次方程的解是解決此題的關(guān)鍵．