Question

4．如果一個四位數的千位數字與十位數學相同，百位數字與個位數字相同，則稱這個四位數為“循環四位數”，如1212，5252，6767，…等都是“循環四位數”，如果將一個“循環四位數”的百位數字與千位數字，個位數字與十位數字都交換位置，得到一個新四位數，我們把這個新四位數叫做“原循環四位數的對應數”，如果原循環四位數的百位數字是0，則忽略交換位置后首位的“0”，即它的對應數就是首位“0”忽略后的三位數，如1212的對應數為2121，5252的對應數為2525，1010的對應數為101．
（1）任意寫一個“循環四位數”及它的“對應數”；猜想任意一個“循環四位數”與它的“對應數”的差是否都能被101整除？并說明理由；
（2）一個“循環四位數”的千位數字為x（1≤x≤9），百位數字為y（0≤y≤9，且y＜x），若這個循環四位數與它的對應數的差能被404整除，求y與x應滿足的數量關系．

Answer 1

分析 （1）根據題意舉例即可，設循環四位數的千位數字與十位數字為m，百位數字與個位數字為n，分別表示出循環四位數和其對應數，再作差化簡即可得；
（2）由（1）知，這個循環四位數與它的對應數的差為101×9（x-y），根據題意知x-y=4或x-y=8，即可得答案．

解答 解：（1）循環四位數為3434，其對應數為4343，
設循環四位數的千位數字與十位數字為m，百位數字與個位數字為n，
則循環四位數為1000m+100n+10m+n，其對應數為1000n+100m+10n+m，
“循環四位數”與它的“對應數”的差為（1000m+100n+10m+n）-（1000n+100m+10n+m）=101×9（m-n），
∴任意一個“循環四位數”與它的“對應數”的差都能被101整除；

（2）由（1）知，這個循環四位數與它的對應數的差為101×9（x-y），
∵這個循環四位數與它的對應數的差能被404整除，
∴x-y=4或x-y=8，
即y=x-4或y=x-8．

點評 本題主要考查因式分解的應用和列代數式及整式的化簡，理解題意表示出循環四位數和其對應數是解題的關鍵．