Question

20．已知點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函數y=x²+mx+n的圖象上，當x₁=1、x₂=3時，y₁=y₂．
（1）①求m；②若拋物線與x軸只有一個公共點，求n的值．
（2）若P（a，b₁），Q（3，b₂）是函數圖象上的兩點，且b₁＞b₂，求實數a的取值范圍．
（3）若對于任意實數x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，求n的范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用拋物線的對稱性可得拋物線的對稱軸為直線x=2，則根據拋物線對稱軸方程得到-$\frac{m}{2}$=2，然后解方程即可得到m的值；
②利用△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數得到△=m²-4n=0，然后解方程即可得到n的值；
（2）利用二次函數的性質，由于x₁=1、x₂=3時，y₁=y₂，點P到直線x=2的距離比點Q到直線x=2的距離要大，于是可得到a＜1或a＞3；
（3）由于對于任意實數x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，則判斷二次函數y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，根據頂點坐標公式得到$\frac{4×1×n-（-4）^{2}}{4×1}$≥1，然后解不等式即可．

解答 解：（1）①∵當x₁=1、x₂=3時，y₁=y₂，
∴點A與點B為拋物線上的對稱點，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
即-$\frac{m}{2}$=2，
∴m=-4；
②∵拋物線與x軸只有一個公共點，
∴△=m²-4n=0，
而m=-4，
∴n=4；
（2）∵x₁=1、x₂=3時，y₁=y₂，
而拋物線開口向上，
∴當a＞3時，b₁＞b₂，或a＜1時，b₁＞b₂，
即實數a的取值范圍為a＜1或a＞3；
（3）∵對于任意實數x₁、x₂都有y₁+y₂≥2，
∴二次函數y=x²-4x+n的最小值大于或等于1，
即$\frac{4×1×n-（-4）^{2}}{4×1}$≥1，
∴n≥5．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標轉化為解關于x的一元二次方程；△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數．也考查了二次函數的性質．利用數形結合的思想是解決本題的關鍵．