Question

16．（1）觀察與歸納：在如圖1所示的平面直角坐標系中，直線l與y軸平行，點A與點B是直線l上的兩點（點A在點B的上方）．
①小明發現：若點A坐標為（2，3），點B坐標為（2，-4），則AB的長度為7； 
②小明經過多次取l上的兩點后，他歸納出這樣的結論：若點A坐標為（t，m），點B坐標為（t，n），當m＞n時，AB的長度可表示為m-n；
（2）如圖2，正比例函數y=x與一次函數y=-x+6交于點A，點B是y=-x+6圖象與x軸的交點，點C在第四象限，且OC=5．點P是線段OB上的一個動點（點P不與點0、B重合），過點P與y軸平行的直線l交線段AB于點Q，交射線OC于R，設點P橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知當t=4時，直線l恰好經過點C．
①求點A的坐標；
②求OC所在直線的關系式；
③求m關于t的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）直線AB與y軸平行，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A、B兩點橫坐標相等，再根據AB的長度為|y₁-y₂|即可求得，
（2）①聯立方程，解方程得出A點的坐標；
②根據勾股定理求得C點坐標，然后根據待定系數法即可求得OC所在直線的關系式；
③根據平行線分線段成比例定理，列出比例式，求得PR，進而求出即可．

解答 解：（1）①若點A坐標為（2，3），點B坐標為（2，-4），則AB的長度為3-（-4）=7；
②若點A坐標為（t，m），點B坐標為（t，n），當m＞n時，AB的長度可表示為m-n；
故答案為7；m-n；
（2）①解$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（3，3）；
②∵直線l平行于y軸且當t=4時，直線l恰好過點C，如圖2，作CE⊥OB于E，
∴OE=4，
在Rt△OCE中，OC=5，
由勾股定理得：
CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=3，
∴點C的坐標為：（4，-3）；
設OC所在直線的關系式為y=kx，則-3=4k，
∴k=-$\frac{3}{4}$，
∴OC所在直線的關系式為y=-$\frac{3}{4}$x；
③由直線y=-x+6可知B（6，0），
作AD⊥OB于D，
∵A（3，3），
∴OD=BD=AD=3，
∴∠AOB=45°，OA=AB，
∴∠OAB=90°，∠ABO=45°
如圖3，
∵∠BPQ=90°，∠ABO=45°，
∴∠BQP=∠PBQ=45°，
∴BP=QP，
∵點P的橫坐標為t，
∴PB=QP=6-t，
∵PR∥CE，
∴$\frac{OE}{OP}$=$\frac{EC}{PR}$，
∴$\frac{4}{t}$=$\frac{3}{PR}$，
解得：PR=$\frac{3}{4}$t，
∴QR=QP+PR=6-t+$\frac{3}{4}$t=6-$\frac{1}{4}$t，
∴m關于t的函數關系式為：m=6-$\frac{1}{4}$t（3≤t＜6）．

點評 此題主要考查了一次函數綜合以及相似三角形的判定與性質和勾股定理等知識，利用分類討論以及數形結合得出是解題關鍵．