Question

17．如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB=2∠BOC，則下列結論正確的是（　　）個
①AB=2BC   ②$\widehat{AB}$=2$\widehat{BC}$   ③∠ACB=2∠CAB   ④∠ACB=∠BOC．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先取$\widehat{AB}$的中點D，連接AD，BD，由∠AOB=2∠BOC，易得AD=BD=BC，繼而證得AB＜2BC，又由圓周角定理，可得∠AOB=4∠CAB，∠ACB=∠BOC=2∠CAB．

解答 解：取$\widehat{AB}$的中點D，連接AD，BD，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴$\widehat{AB}$=2$\widehat{BC}$，故②正確，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$，
∴AD=BD=BC，
∵AB＜AD+BD，
∴AB＜2BC．故①錯誤，
∵∠AOB=2∠BOC，∠BOC=2∠CAB，
∴∠AOB=4∠CAB，
∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠ACB=∠BOC=2∠CAB，故③④正確．
故選C．

點評 此題考查了弧、弦與圓心角的關系以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．