Question

18．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx-8與x軸交于兩點A，B，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為點D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（-2，0），（6，-8）．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）求點E的坐標；
（3）試探究在x軸下方的拋物線上是否存在點F，使得△FOB和△EOB的面積相等，若存在，請求出點F的坐標，若不存在，請說明理由；
（4）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，請直接寫出：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）待定系數法求解可得；
（2）求得直線l的解析式和拋物線對稱軸即可得出交點坐標；
（3）根據△FOB和△EOB共底且面積相等可得y_F=y_E，即$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，解之可得答案；
（4）①如圖1中，當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H，求出點M、H的坐標即可解決問題．②如圖2中，當QO=QP時，△POQ是等腰三角形，先證明CE∥PQ，根據平行線的性質列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）將點A（-2，0）、D（6，-8）代入y=ax²+bx-8，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-8=0}\\{36a+6b-8=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的函數表達式為y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8；

（2）設直線l的解析式為y=kx，
將D（6，-8）代入，得：6k=-8，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x，
又拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-3}{2×\frac{1}{2}}$=3，
∴點E的坐標為（3，-4）；

（3）存在，
設點F（x，$\frac{1}{2}$x²-3x-8），
∵S_△FOB=S_△EOB，即$\frac{1}{2}$OB•y_F=$\frac{1}{2}$OB•y_E，
∴y_F=y_E，即$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-4，
解得：x=3±$\sqrt{17}$，
∴點F的坐標為（3-$\sqrt{17}$，-4）或（3+$\sqrt{17}$，-4）．

（4））①如圖1

當OP=OQ時，△OPQ是等腰三角形．
∵點E坐標（3，-4），
∴OE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，過點E作直線ME∥PB，交y軸于點M，交x軸于點H．則$\frac{OM}{OP}$=$\frac{OE}{OQ}$，
∴OM=OE=5，
∴點M坐標（0，-5）．
設直線ME的解析式為y=k₁x-5，
∴3k₁-5=-4，
∴k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直線ME解析式為y=$\frac{1}{3}$x-5，
令y=0，得$\frac{1}{3}$x-5=0，解得x=15，
∴點H坐標（15，0），
∵MH∥PB，
∴$\frac{OP}{OM}$=$\frac{OB}{OH}$，即$\frac{-m}{5}$=$\frac{8}{15}$，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
②如圖2，

當QO=QP時，△POQ是等腰三角形．
∵當x=0時，y=$\frac{1}{2}$x²-3x-8=-8，
∴點C坐標（0，-8），
∴CE=$\sqrt{{3}^{2}+（8-4）^{2}}$=5，
∴OE=CE，
∴∠1=∠2，
∵QO=QP，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CE∥PB，
設直線CE交x軸于N，解析式為y=k₂x-8，
∴3k₂-8=-4，
∴k₂=$\frac{4}{3}$，
∴直線CE解析式為y=$\frac{4}{3}$x-8，
令y=0，得$\frac{4}{3}$x-8=0，
∴x=6，
∴點N坐標（6，0），
∵CN∥PB，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{OB}{ON}$，
∴$\frac{-m}{8}$=$\frac{8}{6}$，
∴m=-$\frac{32}{3}$．
③OP=PQ時，顯然不可能，理由，
∵D（6，-8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
綜上所述，當m=-$\frac{8}{3}$或-$\frac{32}{3}$時，△OPQ是等腰三角形．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、待定系數法，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會分類討論，不能漏解，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．