Question

5．已知：AB=AC，DC=DF，∠BAC=∠CDF=90°，點(diǎn)G在BF上，
（1）若BG=FG，求證：AG⊥DG  AG=DG；
（2）若∠ADG=45°，求證：BG=FG．

Answer 1

分析 （1）如圖，延長AG到M使得GM=AG，連接BM、AF、DA、DM，延長MF交AB于N．只要證明△ACD≌△MFD，即可推出DM=AD，∠ADC=∠MDF，推出∠MDA=∠FDC=90°，推出△ADM是等腰直角三角形，由AG=GM，推出AG⊥DG  AG=DG．
（2）如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥AD交DG的延長線于M，連接MB延長MB交CD的延長線于N，連接MF、BD、AF、AD．只要證明△MAB≌△DAC，四邊形BDFM是平行四邊形，即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖，延長AG到M使得GM=AG，連接BM、AF、DA、DM，延長MF交AC于N．

∵BG=GF，AG=GM，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AB=MF=AC，AB∥MN，
∴∠MNC=∠BAC=90°，
∴∠FNC+∠FDC=180°，
∴∠DFN+∠NCD=180°，∵∠MFD+∠DFN=180°，
∴∠MFD=∠ACD，
在△ACD和△MFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=MF}\\{∠ACD=∠MFD}\\{CD=DF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△MFD，
∴DM=AD，∠ADC=∠MDF，
∴∠MDA=∠FDC=90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，∵AG=GM，
∴AG⊥DG  AG=DG．

（2）如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥AD交DG的延長線于M，連接MB延長MB交CD的延長線于N，連接MF、BD、AF、AD．

∵∠MAD=90°，∠ADM=45°，
∴∠AMD=∠ADM=45°，
∴AM=AD，
∵∠AMD=∠BAC，
∴∠MAB=∠CAD，∵AM=AD，AB=AC，
∴△MAB≌△DAC，
∴BM=CD=DF，∠AMB=∠ADC，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠AMB+∠ADN=180°，
∴∠MAD+∠N=180°，
∴∠N=∠FDC=90°，
∴NM∥DF，
∴四邊形BDFM是平行四邊形，
∴BG=FG．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形或全等三角形解決問題，題目比較難，輔助線比較多．