Question

7．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連結BD、DP．下列結論：
①△ABE≌△DCF；②∠CPD=75°；③$\frac{EF}{AD}$=$\frac{1}{5}$；④$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正確的是①②④．（只填寫序號）

Answer 1

分析 根據等邊三角形的性質和正方形的性質，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，證得△ABE≌△DCF，即可判斷①；根據CP=CD和∠DCP=30°即可求出∠CPD，即可判斷②；設正方形邊長為4，求出DF和AE，求出EF，即可判斷③；根據三角形面積計算公式，結合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積-△BCD的面積，再求出比，即可判斷④．

解答 解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，∴②正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=90°，
設AB=BC=CD=AD=4，
∵∠DCF=30°，
∴CF=2DF，DF=$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，CF=$\frac{8\sqrt{3}}{4}$，
同理AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則AE+DF-EF=AD，
∴EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-4=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-4，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴$\frac{EF}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$=$\frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}-4}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{3}$，∴③錯誤；
過P作PN⊥BC于N，PM⊥CD于M，
設正方形ABCD的邊長是4，△BPC為正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
S_△BPD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4=4$\sqrt{3}$-4，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{4\sqrt{3}-4}{4×4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，∴④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查的正方形的性質以及等積變換，解答此題的關鍵是作出輔助線，利用銳角三角函數的定義求出PE及PF的長，再根據三角形的面積公式得出結論．