Question

20．在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（0，2），（-1，0），（2，1）．
（1）求直線AB的函數表達式；
（2）設點D與A，B，C點構成平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點D的坐標．
（3）在y軸上有一動點Q，直線AB上有一動點P，求能使得A，C，P，Q構成平行四邊形時點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐標利用待定系數法可求得直線AB的函數表達式；
（2）分AB為邊和AB為對角線兩種情況，當AB為邊時，則CD∥AB且CD=AB，過C作y軸的平行線，過D作x軸的平行線，兩線交于點E，則可證明△AOB≌△CED，可求得CE、DE的長，則可求得D點坐標；當AB為對角線時，設AB的中點為F，可求得F的坐標，則F也為CD的中點，則可求得D點坐標；
（3）可設出點Q坐標為（0，t），分AC為邊和AC為對角線兩種情況，當AC為邊時，過點C作CM⊥y軸于點M，過點P作PN⊥y軸于點N，則可證明△ACM≌△PQN，則可求得PN、QN的長，可求得Q點的坐標；當AC為對角線時，設AC的中點為H，可求得H點的坐標，則H也為PQ的中點，則可用t表示出P點坐標，代入直線AB的解析式，可求得t的值，則可求得Q點坐標．

解答 解：
（1）設直線AB的函數表達式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的函數表達式為y=2x+2；
（2）∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴分AB為邊和AB為對角線兩種情況，
①當AB為邊時，
當點D在x軸上方時，如圖1，過C作y軸的平行線，過D作x軸的平行線，兩線交于點E，

則AB∥CD，且AB=CD，且CE∥OA，
∴∠BAC=∠DAC，∠OAC=∠ACE，
∴∠BAO=∠ECD，
在△AOB和△CED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CED}\\{∠BAO=∠ECD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△CED（AAS），
∴EC=AO=2，DE=OB=1，
∵C（1，2），
∴D（3，3）；
當點D在x軸下方時，如圖2，

同上可知DE=1，CE=2，
∴D（1，-1）；
②當AB為對角線時，設AB的中點為E，如圖3，

∵A（0，2），B（-1，0），
∴E（-$\frac{1}{2}$，1），
∵C（2，1），
∴D（-3，1）；
綜上可知點D的坐標為（3，3）或（1，-1）或（-3，1）；
（3）①當AC為邊時，如圖4，過點C作CM⊥y軸于點M，過點P作PN⊥y軸于點N，

同（2）可證得△ACM≌△QPN，
∴PN=MC=2，NQ=AM=1，
∴P點的橫坐標為2或-2，
當P點橫坐標為2時，代入y=2x+2可求得y=6，此時Q點坐標為（0，7），
當P點橫坐標為-2時，代入y=2x+2可求得y=-2，此時Q點坐標為（0，-3）；
②當AC為對角線時，如圖5，設AC的中點為H，

∵A（0，2），C（2，1），
∴H（1，$\frac{3}{2}$），
設Q（0，t），則P（2，3-t），
∵P點在直線AB上，
∴3-t=2×2+2，解得t=-3，
∴Q（0，-3）；
綜上可知點Q的坐標為（0，7）或（0，-3）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、全等三角形的判定和性質、中點坐標公式、平行四邊形的性質及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用，在（2）（3）中確定出所求點的位置是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．