Question

9．已知如圖，點(diǎn)O為△ABD的外心，點(diǎn)C為直徑BD下方弧BCD上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，則下列對(duì)AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系判斷正確的是（　　）

• A． AC=BC+CD
• B． $\sqrt{2}$AC=BC+CD
• C． $\sqrt{3}$AC=BC+CD
• D． 2AC=BC+CD

Answer 1

分析 在CD延長(zhǎng)線上截取DE=BC，連接EA，證明△ABC≌△ADE，得到△EAF是等腰直角三角形即可得出結(jié)論．

解答 解：在CD的延長(zhǎng)線上截取DE=BC，連接EA，
∵∠ABD=∠ACB=∠ABD=45°，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴$\sqrt{2}$AC=CE，
∴$\sqrt{2}$AC=CD+DE=CD+BC，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓和外心的概念和性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．