Question

18．如圖1，在正方形ABCD中，AB=4，M，N分別是AD、CD上一點．
（1）若DN=1，∠AMB=90°，求AM的長；
（2）若N是CD的中點，且∠NMB=∠MBC，
①求tan∠ABM的值；
②在圖2中，請僅用無刻度的直尺作出點M的位置，并說明確定M位置的理由．（要求：寫出作法，并保留作圖痕跡）

Answer 1

分析 （1）由∠AMB+∠A+∠ABM=180°、∠AMB=90°、∠A=90°知∠ABM=0°，即點M與點A重合，可得答案；
（2）①設AM=x，知DM=4-x，證△DMN≌△CPN得MN=NP=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，根據BP=4+4-x=8-x知8-x=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，解之可得x=4或x=$\frac{4}{3}$，繼而可得答案；
②當x=4即∠ABM=45°，知AM=AB=4，即點D、M重合，連BD可得；當x=$\frac{4}{3}$時，即點M為AD的三等分點，過點N作NP⊥AB于點P，連接AC交PD于點O，過點O作OM⊥AD于點D，證△APO∽△CDO得$\frac{OP}{OD}=\frac{AP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，再證△DMO∽△DAP得$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DM}{DA}$=$\frac{2}{3}$，即AM=$\frac{1}{3}$AD．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
又∵∠AMB+∠A+∠ABM=180°，∠AMB=90°，
∴∠ABM=0°，即點M與點A重合，
∴AM=0；

（2）①設AM=x，
∵AD=4，
∴DM=4-x，

延長MN交BC于P，
∵N為CD中點，
∴DN=CN，
在△DMN和△CPN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DNM=∠CNP}\\{DN=CN}\\{∠D=∠NCP=90°}\end{array}\right.$，
∴△DMN≌△CPN（ASA），
∴MN=NP=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，
又∵BP=4+4-x=8-x，
∴8-x=$\sqrt{{4}^{2}+（4-x）^{2}}$，
解得：x=4或x=$\frac{4}{3}$，
∴tan$∠ABM=\frac{AM}{AB}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4}$=$\frac{1}{3}$或tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{4}{4}$=1；

②當AM=4時，即∠ABM=45°，
如圖2，連接BD，則AB=AD=4，此時∠ABM=45°，AM=AD=4；

當AM=$\frac{4}{3}$時，即點M為AD的三等分點，
如圖3，過點N作NP⊥AB于點P，連接AC交PD于點O，過點O作OM⊥AD于點D，

∵AP∥CD，且$\frac{AP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴△APO∽△CDO，
∴$\frac{OP}{OD}=\frac{AP}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
又∵OM⊥AD，
∴OM∥AP，
∴△DMO∽△DAP，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DM}{DA}$=$\frac{2}{3}$，即AM=$\frac{1}{3}$AD，
故點M即為所求點．

點評 本題主要考查四邊形的綜合，考查的知識點有全等三角形的判定與性質及相似三角形的判定與性質、解直角三角形等，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．