Question

8．小明通過觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1，他發現一個有趣的問題：對于圖中出現的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構造垂直，進而求出它們相交所成銳角的正切值．請回答：
（1）如圖1，A，B，C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，要求尺規作圖線段CD，使得CD⊥AB；
（2）如圖2，線段AB與CD交于點O．為了求出∠AOD的正切值，小明在點陣中找到了點E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點F，再作出點陣中的其它線段，就可以構造相似三角形，經過推理和計算能夠使問題得到解決．請你幫小明算出OC的值和tan∠AOD是多少？

Answer 1

分析 （1）利用基本尺規作圖的一般步驟畫出相等CD；
（2）連接AC、DB、AD，根據勾股定理求出AE，根據相似三角形的性質求出OD、OF，根據正切的定義計算即可．

解答 解：（1）如圖1所示：
線段CD即為所求；
（2）如圖2所示：連接AC、DB、AD．
∵AD=DE=2，
∴AE=2$\sqrt{2}$．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=$\sqrt{2}$，
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO，
∴CO：DO=2：3．
∴CO=$\frac{2}{5}$CD=$\frac{2}{5}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
∴DO=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
∴OF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$．
tan∠AOD=$\frac{AF}{OF}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}$=5．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、基本尺規作圖、勾股定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．