Question

14．如圖，△ABC中，BE為AC邊的中線，BF平分∠EBC，AQ⊥BF交BE于P，交BC于Q，求$\frac{EP}{CQ}$．

Answer 1

分析 作EM∥QC交AQ于M，由三角形的中位線的性質得到EM=$\frac{1}{2}$CQ，且∠EMH=∠BQH，由BF平分∠EBC，BF⊥PQ，得到△BPQ是等腰三角形，根據等腰三角形的性質得到∠BPQ=∠BQP，由對頂角的性質得到∠MPE=∠BPQ，等量代換得到∠EMH=∠MPE，根據等腰三角形的判定得到EP=EM=$\frac{1}{2}$CQ，于是得到結論．

解答 解：作EM∥QC交AQ于M，
∵E是AC中點，
∴EM=$\frac{1}{2}$CQ，且∠EMH=∠BQH，
∵BF平分∠EBC，BF⊥PQ，
∴△BPQ是等腰三角形，
∴∠BPQ=∠BQP，
∵∠MPE=∠BPQ，
∴∠EMH=∠MPE，
∴EP=EM=$\frac{1}{2}$CQ，
∴$\frac{EP}{CQ}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線的性質，等腰三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．