Question

3．如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，交AF的延長線于點E．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若tan∠CBA=2，AE=4，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OC，由OC=OA，$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，易證得OC∥AE，又由DE切⊙O于點C，易證得AE⊥DE；
（2）首先證明ACE=∠ABC，由tan∠CBA=tan∠ACE=2=$\frac{AE}{EC}$，AE=4，推出EC=2，根據EC²=EF•EA，求出EF即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于點C，
∴OC⊥DE．
∴AE⊥DE；

（2）解：連接CF．
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{FC}$，
∴∠CAB=∠CAE，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠ACE+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
∵tan∠CBA=tan∠ACE=2=$\frac{AE}{EC}$，
∵AE=4，
∴EC=2，
∵EC²=EF•EA，
∴2²=EF•4，
∴EF=1，
∴AF=AE-EF=3．

點評 此題考查了切線的性質、直角三角形的性質、圓周角定理、切割線定理、銳角三角函數、平行線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．