Question

11．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動．
（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；
（2）如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，則∠EAF=90°；在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數．

Answer 1

分析 （1）根據直線MN與直線PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線得出∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，由三角形內角和定理即可得出結論；
（2）由∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E可知∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，進而得出∠E的度數，由AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一個角是另一個角的3倍分四種情況進行分類討論．

解答 解：（1）∠AEB的大小不變，
∵直線MN與直線PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠ABO）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠AEB=135°；

（2）∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的角平分線，
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠FAO=$\frac{1}{2}$∠GAO，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$（∠BAO+∠GAO）=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
故答案為：90；
∵∠BAO與∠BOQ的角平分線相交于E，
∴∠EAO=$\frac{1}{2}$∠BAO，∠EOQ=$\frac{1}{2}$∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=$\frac{1}{2}$（∠BOQ-∠BAO）=$\frac{1}{2}$∠ABO，
即∠ABO=2∠E，
在△AEF中，∵有一個角是另一個角的3倍，故分四種情況討論：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，則∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍去）；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）．
∴∠ABO為60°或45°．

點評 本題考查的是三角形內角和定理、三角形外角性質以及角平分線的定義的運用，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．