Question

（14分） 已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．

（1）點O到弦AB的距離為 .

（2）若點P為優弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A＇；

①若∠α=30°，試判斷點A＇與⊙O的位置關系；

②若BA＇與⊙O相切于B點，求BP的長；

③若線段BA＇與優弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值范圍.

 

 

Answer 1

（1）1；（2）①點A＇在⊙O上；②；③0°<α<30°或60°≤α<120°．

【解析】

試題分析：（1）過O作OD⊥AB于D，由等腰三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質即可得到OD的長；

（2）①當∠α=30°時，可以得到PB就是直徑，因為A在圓上，所以A關于直徑的對稱點也在圓上；

②如圖，得到∠AB A/=120°，從而有∠ABP=60°，∴△ABP是等邊三角形，得到BP=AB，由垂徑定理可得AB=，從而得到BP的長；

③當A＇在圓內或圓外時，線段BA＇與優弧APB只有一個公共點，從而得出0°<α<30°或60°≤α<120°．

試題解析：（1）過O作OD⊥AB于D，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=OA=1；

（2）①連接A＇O∵∠AOB=120°∴∠APB=∠AOB=60°，∵∠PBA=30°，∴∠PAB=90°∴PB是⊙O的直徑，因為A在圓上，所以A關于直徑的對稱點A＇也在⊙O上；

②由翻折可知∠A＇B P =∠ABP，∵BA＇與⊙O相切，∴∠OB A/=90°∴∠AB A/=120°，∴∠A＇B P =∠ABP=60°，∵∠APB=60°∴△PAB為正三角形，∴BP=AB，

由（1）得AB=2AD=OD=，∴BP=；

③α的取值范圍為0°<α<30°或60°≤α<120°．

考點：圓的綜合題．