Question

20．把邊長為1的正方形紙片PABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時，點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處，又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點，按順時針方向旋轉90°…，按上述方法經過2016次旋轉后，頂點O經過的總路徑的長為（252$\sqrt{2}$+504）π．

Answer 1

分析 為了便于標注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉后向右稍微平移一點，作出前幾次旋轉后的圖形，點O的第1次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，第2次旋轉路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°圓心角的扇形，第3次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形；
①根據弧長公式列式進行計算即可得解；
②求出2016次旋轉中有幾個4次，然后根據以上的結論進行計算即可求解．

解答 解：如圖，為了便于標注字母，且位置更清晰，每次旋轉后不防向右移動一點，
第1次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π；
第2次旋轉路線是以正方形的對角線長$\sqrt{2}$為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為$\frac{90π×\sqrt{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$π；
第3次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為$\frac{90π×1}{180}$=$\frac{1}{2}$π；
第4次旋轉點O沒有移動，旋轉后與最初正方形的放置相同，
因此4次旋轉，頂點O經過的路線長為$\frac{1}{2}$π+$\frac{\sqrt{2}}{2}π$+$\frac{1}{2}$π=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$π；
∵2016÷4=504，
∴經過2016次旋轉，頂點O經過的路程是4次旋轉路程的504倍，即504×（$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$π）=（252$\sqrt{2}$+504）π．
故答案為：（252$\sqrt{2}$+504）π．

點評 本題主要考查了旋轉變換的性質、正方形的性質以及弧長的計算，讀懂題意，并根據題意作出圖形更形象直觀，且有利于旋轉變換規律的發現．