Question

10．如圖1，是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和CD′E′疊放在一起．
（1）操作：固定△ABC，將△CD′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CDE，連接AD、BE，如圖2．探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由；
（2）操作：固定△ABC，若將△CD′E′繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位長的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR，如圖3．探究：在圖3中，除△ABC和△CDE外，還有哪個三角形是等腰三角形？直接寫出你的結(jié)論．
（3）探究：如圖4，在（2）的條件下，將△PQR的頂點(diǎn)P移動至F點(diǎn)，求此時(shí)QH的長度．

Answer 1

分析 （1）求兩條線段之間的關(guān)系，可先證明△BCE≌△ACD，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出兩條對應(yīng)邊之間的關(guān)系；
（2）等腰三角形的判定問題，可根據(jù)題中角之間的關(guān)系得出∠QHC=∠QCH，即可得到QH=QC，進(jìn)而判定△HQC為等腰三角形；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求得BF=2=AF，再利用勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解，或者根據(jù)（2）中的結(jié)論，即可得出QH的長度．

解答 解：（1）BE=AD．
理由：由題意可得，BC=AC，CE=CD，
∵∠BCE+∠ACE=60°，∠ACE+∠ACD=60°
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；

（2）△HQC為等腰三角形．
理由：∵∠FCB=30°，∠ACB=60°，
∴∠ACF=30°，
又∵∠RQP=60°，
∴∠QHC=60°-30°=30°，
∴∠QHC=∠QCH，
∴QH=QC，即△HQC為等腰三角形；

（3）解法1：∵∠BCF=30°，BC=4，∠B=60°，
∴Rt△BCF中，BF=2，CF=2$\sqrt{3}$，
又∵FQ=3，
∴CQ=FC-FQ=2$\sqrt{3}$-3，
由（2）可得，HQ=CQ=2$\sqrt{3}$-3．

解法2：∵∠BCF=30°，BC=4，∠B=60°，
∴Rt△BCF中，BF=2=AF，
∴在Rt△AFG中，F(xiàn)G=$\sqrt{3}$，
∴GR=3-$\sqrt{3}$，
∵∠RHG=30°，
∴在Rt△GRH中，RH=2（3-$\sqrt{3}$），
∴HQ=3-2（3-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-3．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用．掌握兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，是正確解答第（1）問的關(guān)鍵．在判定等腰三角形時(shí)注意：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．