Question

15．如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊AB、AE（AB＜AE）在一條直線上，正方形AEFG以點A為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接BE、DG．

（1）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時，求證：BE=DG；
（2）如圖3，如果α=45°，AB=2，AE=4$\sqrt{2}$，求點G到BE的距離．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAE=∠DAG，由正方形的性質(zhì)得到AB=AD，AE=AG，然后依據(jù)SAS可證明△ABE≌△ADG，然后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行證明即可；
（2）連接GE、BG，延長AD交GE與H．當(dāng)α=45°時，可證明△AHE為等腰直角三角形，然后可求得AH和HE的長，然后依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到EG=2HE，最后在△BEG中，利用面積法可求得點G到BE的距離．

解答 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠BAE=∠DAG，由正方形的性質(zhì)可知：AB=AD，AE=AG．
∵在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAE}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG．
∴BE=DG．
（2）連接GE、BG，延長AD交GE與H．

當(dāng)α=45°時，則∠BAD=45°．
∵∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠EAH=∠GAH=45°．
又∵AE=AG，
∴AH⊥GE．
又∵AH⊥AB，∠EAH=45°，
∴△AHE為等腰直角三角形．
∴EH=AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=4．
∴EG=2EH=8．
∴S_△BEG=$\frac{1}{2}$EG•AH=$\frac{1}{2}$×8×4=16．
設(shè)點G到BE的距離為h．
S_△BEG=$\frac{1}{2}$EB•h=16，即$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$h=16，解得h=4$\sqrt{2}$．
∴點G到BE的距離為4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)，面積法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．