Question

12．觀察下表：

序號(hào)	1	2	3	…
圖形	x　　　　x y x　　　　　x	x　　　x　　　x y　　　y x　　　　　　　x y　　　y x　　　x　　　x	x　　　x　　　x　　　　x y　　　y　　　y x　　　　　　　　　　　　x y　　　y　　　y x　　　　　　　　　　　　x y　　　y　　　y x　　　x　　　x　　　　x	…

我們把某格中字母的和所得到的多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，例如第1格的“特征多項(xiàng)式”為4x+y．回答下列問題：
（1）第2格的“特征多項(xiàng)式”為9x+4y，第n格的“特征多項(xiàng)式”為（n+1）²x+n²y；（n為正整數(shù)）
（2）若第1格的“特征多項(xiàng)式”的值為-8，第2格的“特征多項(xiàng)式”的值為-11．
①求x，y的值；
②在此條件下，第n格的特征多項(xiàng)式是否有最小值？若有，求最小值和相應(yīng)的n值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知表格中x，y個(gè)數(shù)變化規(guī)律得出第2格的“特征多項(xiàng)式”以及第n格的“特征多項(xiàng)式”；
（2）①利用（1）中所求得出關(guān)于x，y的等式組成方程組求出答案；
②利用二次函數(shù)最值求法得出答案．

解答 解：（1）第2格的“特征多項(xiàng)式”為：9x+4y；第n格的“特征多項(xiàng)式”為：（n+1）²x+n²y；
故答案為：9x+4y；（n+1）²x+n²y；

（2）①∵第1格的“特征多項(xiàng)式”的值為-8，第2格的“特征多項(xiàng)式”的值為-11，
∴根據(jù)題意可得：$\left\{\begin{array}{l}4x+y=-8\\ 9x+4y=-11\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$；

②有最小值，
將x=-3，y=4代入（n+1）²x+n²y=（-3）（n+1）²+4n²=n²-6n-3，
設(shè)y=n²-6n-3，
方程為二次函數(shù)，拋物線開口向上，有最小值，
當(dāng)$n=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2}=3$時(shí)，y取得最小值，
將n=3代入得y=-12，
當(dāng)n=3時(shí)，最小值為-12．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用和數(shù)字變化規(guī)律等知識(shí)，根據(jù)題意得出第n格的“特征多項(xiàng)式”是解題關(guān)鍵．