Question

6．如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結論：①tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正確結論的序號是①②③④．

Answer 1

分析 ①根據等腰直角三角形的性質及△ABC∽△CDE的對應邊成比例知$\frac{AC}{EC}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BC}{CD}$；然后由直角三角形中的正切函數，得tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$，再由等量代換求得tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$；
②由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質a²+b²≥2ab（a=b時取等號）解答；
③④通過作輔助線MN，構建直角梯形的中位線，根據梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答．

解答 解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BC}{CD}$①∴tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$，
∴tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$；故本選項正確；
②∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，S_△CDE=$\frac{1}{2}$b²，S_梯形ABDE=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（a²+b²）≥ab（a=b時取等號），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故本選項正確；
④過點M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點M是AE的中點，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM；故本選項正確；
③又MN=$\frac{1}{2}$（AB+ED）=$\frac{1}{2}$（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本選項正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、梯形的中位線定理、銳角三角函數的定義等知識點．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．