Question

1．如圖，四邊形ABCD，M為BC邊的中點．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，則AD的長為5．

Answer 1

分析 由∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，∠B=∠AMD=∠C=45°，可證得△ABM∽△MCD，然后由相似三角形對應邊成比例，求得MC與BM的值，然后延長BA與CD交于點E，由勾股定理，即可求得AD的長．

解答 解：∵∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，
∵∠B=∠AMD=∠C=45°，
∴∠BMA=∠CDM，
∴△ABM∽△MCD，
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵M為BC邊的中點，
∴MC=BM，
∵AB=8，CD=9，
∴BM=MC=6$\sqrt{2}$，
∴BC=12$\sqrt{2}$，
延長BA與CD交于點E，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠E=90°，BE=CE，
∴BE=CE=12，
∴AE=BE-AB=4，DE=CE-CD=3，
在Rt△AED中，AD=5．
故答案為5．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理以及三角形外角的性質．此題難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．