Question

14．已知：如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點P、Q分別是邊AB、AC上的動點
（1）若點P在AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時點Q在AC上以1cm/s的速度由點C向點A運動，設點P運動時間為t秒
①試求當t為何值時，△APQ為等邊三角形？
②若△APQ為直角三角形，試求t的值
（2）如圖2，點D在△ABC外一點，且BD=CD，∠BDC=120°，若點P、Q在運動過程中始終保持∠PDQ=60°，試判斷在這一過程中，△APQ的周長是否發生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據運動得出AP=2t，CQ=t，AQ=6-t最后用等邊三角形的性質即可列出方程求解即可；
（2）由∠BAC=60°，分兩種情況AP=2AQ和AQ=2AP列出方程求解即可；
（3）先判斷出點P，Q的運動情況，然后求出AP+AQ，再判斷出PQ的變化情況，即可得出結論．

解答 解：（1）①∵△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△APQ為等邊三角形，
∴AP=AQ，
由運動知，AP=2t，CQ=t，
∴AQ=6-t，
∴2t=6-t，
∴t=2，
即：t=2時，△APQ為等邊三角形；
②∵△APQ為直角三角形，∠BAC=60°，
由運動知，AP=2t，CQ=t，∴AQ=6-t，
Ⅰ、當∠APQ=90°時，∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，
∴6-t=4t，
∴t=$\frac{6}{5}$，
Ⅱ、當∠AQP=90°時，∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，
∴2t=2（6-t），
∴t=3，
即：△APQ為直角三角形時，t的值為$\frac{6}{5}$s或3s；
（3）△APQ的周長是發生變化，
理由：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠BDC=120°，
∴點D在△ABC的外接圓O上，
∵BD=CD，
∴點D必在AO的延長線上，
連接OC，
∴OA=OC，∠BAO=∠DAC=∠BCO=∠ACO=30°，
∴∠AOC=120°，
∵點P、Q在運動過程中始終保持∠PDQ=60°，
∴點P，Q是△AOC繞點O旋轉和AB與AC的交點，
∵∠POQ=120°，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ACO=30°}\\{OA=OC}\\{∠AOP=∠COQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，PO=QO，
∴AP+AQ=CQ+AQ=AC=6，
∵$\frac{OA}{OC}=1$，$\frac{OP}{OQ}=1$，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OP}{OQ}$，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OC}{OQ}$，∵∠AOC=∠POQ，
∴△AOC∽△POQ，
∴$\frac{AC}{PQ}=\frac{OA}{OP}$，
∴PQ=$\frac{OP}{OA}•AC$=$\frac{6OP}{OA}$，
∵點O是邊長為6的等邊三角形ABC的外心，
∴OA=2$\sqrt{3}$，
∴PQ=$\sqrt{3}$OP，
∴△APQ的周長=AP+AQ+PQ=6+$\sqrt{3}$OP，
而P，Q在運動的過程中，OP由接近于2$\sqrt{3}$逐點減小到最小$\sqrt{3}$，再逐點最大到接近于2$\sqrt{3}$，
∴△APQ的周長的范圍為9到12，（包括9但不包括12）．
即：△APQ的周長是發生變化，有最小值9．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，含30°的直角三角形的性質，三角形的外心，解本題的關鍵是判斷出點D是△ABC的外接圓上，且在AO的延長線上，是一道中等難度的中考常考題，