Question

10．如圖，以△ABC三邊為底向外作等腰直角三角形，連接DE、BF．
求證：DE=BF，DE⊥BF．

Answer 1

分析 先構造正方形ADBP，連接DP，EP，通過判定△PBE∽△ABC，得出∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，$\frac{PE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進而根據SAS判定△ABF≌△PDE，即可得出BF=DE，∠ABF=∠PDE，再根據DP⊥AB，且AB、DE交于一點，可得DE⊥BF．

解答 解：將△ABD沿著AB翻折，得正方形ADBP，連接DP，EP，則DP=BA，DP⊥BA，
∵∠ABP=∠CBE=45°，
∴∠PBE=∠ABC，
又∵$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△PBE∽△ABC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，$\frac{PE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
又∵AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴PE=AF，
∵∠DPE=∠DPB+∠BPE=45°+∠BPE，∠BAF=∠CAF+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠DPE=∠BAF，
在△ABF和△PDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=PD}\\{∠BAF=∠DPE}\\{AF=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△PDE（SAS），
∴BF=DE，∠ABF=∠PDE，
又∵DP⊥AB，且AB、DE交于一點，
∴DE⊥BF．

點評 本題主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造正方形以及全等三角形、相似三角形，依據全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行求解．