Question

20．（1）如圖①，點A、點B在線段l的同側，請你在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最小（不需要說明理由）．
（2）如圖②，菱形ABCD的邊長為6，對角線AC=6$\sqrt{3}$，點E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值．
（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四邊形ABCD的周長是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①中，′作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于P，連接PA．則點P即為所求的點．
（2）如圖②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，連接BM交AC于F，由四邊形DEFM是平行四邊形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根據兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，由四邊形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根據BM=$\sqrt{B{D}^{2}+D{M}^{2}}$計算即可．
（3）如圖③中，連接AC、BD，在AC上取一點，使得DM=DC．首先證明AC=CD+CB，再證明當AC為△ABC的外接圓的直徑時，四邊形ABCD的周長最大．

解答 解：（1）如圖①中，′作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于P，連接PA．則點P即為所求的點．


（2）如圖②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，連接BM交AC于F，

∵DM=EF，DM∥EF，
∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴DE=FM，
∴DE+BF=FM+FB=BM，
根據兩點之間線段最短可知，此時DE+FB最短，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ADO中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=3，
∴BD=6，
∵DM∥AC，
∴∠MDB=∠BOC=90°，
∴BM=$\sqrt{B{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴DE+BF的最小值為2$\sqrt{10}$．

（3）如圖③中，連接AC、BD，在AC上取一點，使得DM=DC．

∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四點共圓，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ADB是等邊三角形，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∵DM=DC，
∴△DMC是等邊三角形，
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，
∴∠ADM=∠BDC，
∵AD=BD，
∴△ADM≌△BDC，
∴AM=BC，
∴AC=AM+MC=BC+CD，
∵四邊形ABCD的周長=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
∵AD=AB=6，
∴當AC最大時，四邊形ABCD的周長最大，
∴當AC為△ABC的外接圓的直徑時，四邊形ABCD的周長最大，易知AC的最大值=4$\sqrt{3}$，
∴四邊形ABCD的周長最大值為12+4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、軸對稱、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、四點共圓、圓的直徑最大等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用輔助圓解決最值問題，屬于中考壓軸題．