Question

2．如圖，已知函數y=x+1的圖象與y軸交于點A，一次函數y=kx+b的圖象經過點B（0．-1），與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點C、D，且點D的坐標為（1，n），
（1）點A的坐標是（0，1），n=2，b=-1，k=3；
（2）x取何值時，函數y≡kx+b的函數值大于函數y≡x+1的函數值；
（3）求四邊形AOCD的面積；
（4）是否存在y軸上的點P，使得BD≡BP？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由函數y=x+1的圖象與y軸交于點A，可求點A的坐標，由y=x+1的圖象過點D，且點D的坐標為（1，n），可得D的坐標，由一次函數y=kx+b的圖象經過點B（0，-1）與D（1，2），即可求出k，b的值．
（2）根據圖象即可得出答案；
（3）先求出點D的坐標，再求出BD的解析式，然后根據S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD即可求解；
（4）當BP=DB時，設P（0，y），BP²=0²+（y+1）²=DB²=1²+（2+1）²求解即可．

解答 解：（1）∵函數y=x+1的圖象與y軸交于點A，
∴令x=0時，y=0+1，解得y=1，
∴A（0，1），
∵y=x+1的圖象過點D，且點D的坐標為（1，n），
∴n=1+1=2，
∴D（1，2），
∵一次函數y=kx+b的圖象經過點B（0，-1）與D（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函數的表達式為y=3x-1
故答案為：（0，1），2，-1，3；

（2）由一次函數圖象可得當x＞1時，函數y=kx+b的函數值大于函數y=x+1的函數值；

（3）∵D（1，2），
∴直線BD的解析式為y=3x-1，
∴A（0，1），C（$\frac{1}{3}$，0）
∴S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△COD=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$；

（4）存在．
當BP=DB時
設P（0，y），
∵B（0，-1），D（1，2），
BP²=0²+（y+1）²=DB²=1²+（2+1）²，
∴y=$\sqrt{10}$-1或y=-$\sqrt{10}$-1
∴P（0，-1-$\sqrt{10}$）或P（0，$\sqrt{10}$-1）；
綜上所述點P的坐標為：（0，-1-$\sqrt{10}$）或（0，$，1+\sqrt{10}$）．

點評 本題考查了一次函數綜合知識，難度適中，解題的關鍵是利用等腰三角形的性質．