Question

8．已知直線l_n：y=-$\frac{n+1}{n}$x+$\frac{1}{n}$（n是不為零的自然數(shù)），當(dāng)n=1時(shí)，直線l₁：y=-2x+1與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A₁和B₁，設(shè)△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）的面積為S₁；當(dāng)n=2時(shí)，直線l₂：y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A₂和B₂，設(shè)△A₂OB₂的面積為S₂；…依此類推，直線l_n與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A_n和B_n，設(shè)△A_nOB_n的面積為S_n．則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆的值是$\frac{2016}{4034}$．．

Answer 1

分析 分別求得△A₁OB₁，△A₂OB₂，以及△AnBnCn的面積，總結(jié)規(guī)律．即可求得．

解答 解：y=-2x+1中分別令x=0，y=0，解得：y=1，x=$\frac{1}{2}$，即直線與x軸和y軸交點(diǎn)A₁和B₁，分別是（$\frac{1}{2}$，0）（0，1）．則△A₁OB₁（其中O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）的面積為$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$．
同理△A₂OB₂的面積為：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$；
△AnOBn的面積是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$．
則S₁+S₂+…+S₂₀₁₆的值$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2}×\frac{1}{2016}×\frac{1}{2017}$=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2017}）=\frac{2016}{4034}$，
故答案為：$\frac{2016}{4034}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，關(guān)鍵是正確求出各個(gè)三角形的面積．