Question

5．已知拋物線C₁經(jīng)過A（-1，0），B（0，3），C（3，0）三點，其頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E．
（1）求拋物線C₁頂點D的坐標(biāo)；
（2）將拋物線C₁平移得到將拋物線C₂，C₂的對稱軸與x軸交于點E'，C₂與y軸交于點B'、頂點為D'，若△ABO與△D'B'E'相似，試求出此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法以及配方成頂點式可得；
（2）如圖1中，作DE∥AB交拋物線于E，作EG⊥拋物線的對稱軸于G交拋物線于F，作EM⊥DE交對稱軸于M，連接FM．則△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．想辦法求出E、F、M三點坐標(biāo)，利用平移的性質(zhì)即可解決問題．如圖2中，取Q（-11，0），連接DQ交拋物線于E，拋物線的對稱軸交AC于K，作EG⊥拋物線的對稱軸于G交拋物線于F，作EM⊥DE交對稱軸于M，連接FM．則△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．想辦法求出E、F、M三點坐標(biāo)，利用平移的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點B（0，3）代入，得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的頂點D的坐標(biāo)為（1，4）．

（2）如圖1中，作DE∥AB交拋物線于E，作EG⊥拋物線的對稱軸于G交拋物線于F，作EM⊥DE交對稱軸于M，連接FM．則△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．

∵A（-1，0），B（0，3），
∴直線AB的解析式為y=3x+3，
∵D（1，4），
∴直線DE的解析式為y=3x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標(biāo)為（-2，-5），根據(jù)對稱性可知F（4，-5），
∵EM⊥DE，
∴直線EM的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{17}{3}$，
∴M（1，-6），
∴EG=GF=3，GM=1，
觀察圖象可知，①當(dāng)點E（-2，-5）平移到（0，0）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（3，9）．
②當(dāng)點F（4，-5）平移到（0，0）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（-3，9）．
③當(dāng)點E（-2，-5）平移到（0，1）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（3，10）．
④當(dāng)點F（4，-5）平移到（0，1）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（-3，10）．
如圖2中，取Q（-11，0），連接DQ交拋物線于E，拋物線的對稱軸交AC于K，作EG⊥拋物線的對稱軸于G交拋物線于F，作EM⊥DE交對稱軸于M，連接FM．則△DEG∽△DME∽△DFG∽△DMF∽△BAO．

∵直線DE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{11}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{11}{3}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{2}{3}$，$\frac{13}{3}$），根據(jù)對稱性F（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$），
∵EM⊥DE，
∴直線EM的解析式為y=-3x+$\frac{19}{3}$，
∴M（1，$\frac{10}{3}$），
∴EG=GF=$\frac{1}{3}$，MG=1，
觀察圖象可知，①當(dāng)點E（$\frac{2}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，0）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
②當(dāng)點F（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，0）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）．
③當(dāng)點E（$\frac{2}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，1）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
④當(dāng)點F（$\frac{4}{3}$，$\frac{13}{3}$）平移到（0，1）時，△ABO與△D'B'E'相似，此時拋物線C₂的頂點坐標(biāo)D′（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
綜上所述，滿足條件的拋物線C₂的頂點坐標(biāo)為（3，9）或（-3，9）或（3，10）或（-3，10）或（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$）或（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的判定、坐標(biāo)平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，本題的突破點是找到關(guān)鍵點E、F、M，學(xué)會構(gòu)建函數(shù)，利用方程組求兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，學(xué)會利用坐標(biāo)平移的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題．