Question

13．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=1，AD=2，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，則最小值為2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和ED的對稱點A′，A″，即可得出最短路線，再利用勾股定理，求出即可．

解答 解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值，作A′H⊥DA交DA的延長線于H，
∴AA′=2AB=2，AA″=2AD=4，∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
則Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=1，
∴A′H=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
A″H=1+4=5，
∴A′A″=$\sqrt{A′{H}^{2}+A″{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案為：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M，N的位置是解題關鍵．