Question

19．如圖1，拋物線C₁：y=ax²-2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于C點，B（1，0），第二象限內有一點P在拋物線C₁上運動，OP交線段AC于點E．
（1）求拋物線C₁的解析式及點A坐標；
（2）若PE：OE=2：3，求P點坐標；
（3）如圖2，將拋物線C₁向右平移，使平移后的攤物線C₂的頂點D在y軸上，P是拋物線C₂在第二象限圖象上的動點，作P關于y軸的對稱點P′，連接PO并延長交拋物線C₂于點Q，連接QP′并延長交y軸于點N，求證：ND=OD．

Answer 1

分析 （1）把點B（1，0）代入y=ax²-2x+3，求出a即可，令y=0，把問題轉化為一元二次方程即可求得點A坐標．
（2）如圖1中，作EF⊥OA于F，PM⊥OA于M，設P（m，-m²-2m+3），則PM=-m²-2m+3，OM=-m，由EF∥PM，可得$\frac{EF}{PM}$=$\frac{OF}{OM}$=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{3}{5}$，推出OF=-$\frac{3}{5}$m，EF=$\frac{3}{5}$（-m²-2m+3），由OA=OC=3，推出∠EAF=∠AEF=45°，推出AF=EF，由此列出方程即可解決問題．
（3）如圖2中，由題意拋物線C₂的解析式為y=-x²+4，D（0，4）．設P（m，-m²+4），則P′（-m，-m²+4）．首先求出直線PO是解析式，利用方程組求出點Q的坐標，再求出直線QP′的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）把點B（1，0）代入y=ax²-2x+3得a=-1，
∴拋物線C₁的解析式為y=-x²-2x+3，
令y=0，得-x²-2x+3=0，解得x=-3或1，
∴A（-3，0）．

（2）如圖1中，作EF⊥OA于F，PM⊥OA于M，設P（m，-m²-2m+3），則PM=-m²-2m+3，OM=-m，

∵EF∥PM，
∴$\frac{EF}{PM}$=$\frac{OF}{OM}$=$\frac{OE}{OP}$=$\frac{3}{5}$，
∴OF=-$\frac{3}{5}$m，EF=$\frac{3}{5}$（-m²-2m+3），
∵OA=OC=3，
∴∠EAF=∠AEF=45°，
∴AF=EF，
∴$\frac{3}{5}$m+3=$\frac{3}{5}$（-m²-2m+3），
解得m=-1或-2，
∴P（-1，4）或（-2，3）．

（3）如圖2中，由題意拋物線C₂的解析式為y=-x²+4，D（0，4）．
設P（m，-m²+4），則P′（-m，-m²+4）．

設直線PQ的解析式為y=kx，則-m²+4=km，
∴k=$\frac{4-{m}^{2}}{m}$，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{4-{m}^{2}}{m}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+4}\\{y=\frac{4-{m}^{2}}{m}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=-{m}^{2}+4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{m}}\\{y=\frac{4（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴Q[-$\frac{4}{m}$，$\frac{4（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}$]，
設直線QP′的解析式為y=k′x+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-mk′+b=-{m}^{2}+4}\\{-\frac{4}{m}k′+b=\frac{4（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4+{m}^{2}}{m}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線QP′的解析式為y=$\frac{4+{m}^{2}}{m}$x+8，
∴N（0，8），∵D（0，4），
∴OD=4，ON=8，
∴DN=ON-OD=4，
∴DN=OD．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用，平行線的性質，等腰直角三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法，學會利用參數解決問題，本題的突破點是求出點Q的坐標，再求出直線QP′的解析式，屬于中考壓軸題．