Question

18．已知點A（-4，n）和點B（2，-4）是反比例函數y=$\frac{m}{x}$的圖象和一次函數y=kx+b圖象兩個交點．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求方程kx+b=$\frac{m}{x}$的解（請直按寫出答案）
（3）求不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集（請直接寫出答案）．
（4）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）把B的坐標代入即可流程反比例函數的解析式，代入求出A的坐標，把A、B的坐標代入一次函數的解析式，即可求出答案；
（2）根據點A、B的坐標即可求出方程的解；
（3）根據圖象和A、B的橫坐標即可求出答案；
（4）先求出直線和x軸的交點的坐標，根據三角形的面積公式求出即可．

解答 解：（1）把B（2，-4）的坐標代入y=$\frac{m}{x}$得：m=-8，
即反比例函數的解析式為：y=-$\frac{8}{x}$，
把A的坐標代入y=-$\frac{8}{x}$得：n=2，
所以A的坐標為（-4，2），
把A、B的坐標代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{2=-4k+b}\\{-4=2k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-2，
所以一次函數的解析式為：y=-x-2；

（2）方程kx+b=$\frac{m}{x}$的解為：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$；

（3）不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$的解集為x＜-4或0＜x＜2；

（4）y=-x-2和x軸的交點坐標為（-2，0），
所以△AOB的面積為：$\frac{1}{2}$×|-2|×2+$\frac{1}{2}×|-2|×|-4|$=6．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題、反比例函數圖象上點的坐標特征以及待定系數法求函數解析式，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式；（2）分割圖形求三角形面積；（3）根據函數圖象的上下位置關系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，再結合點的坐標利用待定系數法求出函數解析式是關鍵．