Question

8．ABPD是一個邊長為1的正方形，△DPC是一個直角邊長為1的等腰直角三角形，把正方形ABPD和△DPC拼成一個如圖所示的直角梯形，E、F分別為線段DP、CP上兩個動點（不與D、P、C重合），且DE=CF=x，BE的延長線分別交DF、DC于H、G．
（1）求證：①△BPE≌△DPF．②BG⊥DF．
（2）試問：是否存在這樣x的值，使得DF和EG互相垂直平分，若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．
（3）若連結AH，在運動過程中，∠AHB的大小是否發生改變？若改變，請說出是如何變化的；若不改變，請猜想∠AHB的度數，不用說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據正方形和等腰直角三角形的性質得：BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，由DE=CF和等式的性質得：PE=PF，從而得△BPE≌△DPF；
②先根據全等得：∠EBP=∠FDP，再由直角三角形的兩銳角互余得：∠EBP+∠BFH=90°，所以BG⊥DF；
（2）如圖2，存在，先假設直線BG垂直平分線段DF，連接BD，根據垂直平分線的性質得：BD=BF=$\sqrt{2}$，表示出x=FC=2-$\sqrt{2}$，再利用等腰三角形三線合一的性質證明EH=GH，所以DF也是EG的垂直平分線，此時
DF和EG互相垂直平分；
（3）如圖2，根據正方形的角為直角證明A、B、H、D四點共圓，得∠AHB=45°．

解答 解：（1）①證明：如圖1，
∵四邊形ABPD是正方形，△DPC是等腰直角三角形，
∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，
又∵DE=CF，
∴PE=PF，
∴△BPE≌△DPF；
②∵△BPE≌△DPF，
∴∠EBP=∠FDP，
又∵∠FDP+∠BFH=90°，
∴∠EBP+∠BFH=90°，
∴BG⊥DF；                   
（2）存在，如圖2，
連結BD，若直線BG垂直平分線段DF，
則BF=BD，
∵四邊形ABPD是正方形，且AB=1，∴BD=$\sqrt{2}$，
∴BF=BD=$\sqrt{2}$，
∴x=CF=2-$\sqrt{2}$，
此時，∠FBH=∠DBG=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠PBH=∠PDF=22.5°，
∵∠PDC=45°，
∴∠PDF=∠CDF=22.5°，
又∵BG⊥DF，
∴EH=GH，
∴直線DF垂直平分線段EG，
∴當x=2-$\sqrt{2}$時，DF和EG互相垂直平分；
（3）∠AHB的大小不改變，∠AHB=45°，理由是：
如圖2，∵四邊形ABPD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵BG⊥DF，
∴∠DHB=90°，
∴∠BAD+∠DHB=180°，
∴A、B、H、D四點共圓，
∴∠AHB=∠ADB=45°．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的性質和判定以及四點共圓的性質和判定，難度適中；以證明兩三角形全等為突破口，根據直角三角形的兩銳角互余及四點共圓中，同弧所對的圓周角相等為依據，解決此題．