Question

10．觀察下列算式：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\frac{（\sqrt{2}-1）}{1}$=$\sqrt{2}-1$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$
（1）根據你發現的規律填空：$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$=$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（2）對比下面的算式與上面的有何異同，根據你的觀察、猜想與驗證，計算：
（$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+$$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2013}}$）×（$\sqrt{2015}+1$）

Answer 1

分析 （1）根據得出的分母有理化規律將各式化簡即可；
（2）原式利用分母有理化方法變形，計算即可得到結果．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$=$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
故答案為：$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$；$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（2）∵$\frac{1}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1），$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$），$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}-\sqrt{5}）}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$），…，
∴$\frac{1}{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）（n為正整數）．
∴原式=[$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2013}$）]×（$\sqrt{2015}$+1），
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$+…+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2013}$）×（$\sqrt{2015}$+1），
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2015}$-1）×（$\sqrt{2015}$+1），
=1007．

點評 本題考查了分母有理化，解題的關鍵是：（1）根據給定的等式找出$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；（2）根據分母有理化方法找出$\frac{1}{\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$）（n為正整數）．