Question

1．已知：在△ABC中，AC=1.5，BC=2，AB=2.5，E、F均在直線AB上，且AE=AC，∠ECF=45°，則AF的長為0.5或4.5．

Answer 1

分析 分兩種情況：
解法一：①當E在BA的延長線上時，如圖1，作輔助線，構建直角三角形，先根據勾股定理列等式求AH的長，從而繼續求CH、BH的長，從而可以求EC的長，設FN=a，則EN=2a，可求FN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由此求EF的長，得出AF的長；
②當E在線段AB上時，如圖2，同樣的方法可求得AF的長．
解法二，兩種情況都設某一個角為x°，分別表示其它角，利用等角對等邊，得出線段的長，計算AF的長．

解答 解法一：分兩種情況：
①當E在BA的延長線上時，如圖1，
過C作CH⊥AB于H，
設AH=x，則BH=2.5-x，
由勾股定理得：CH²=AC²-AH²=1.5²-x²，
CH²=BC²-BH²=2²-（2.5-x）²，
∴1.5²-x²=2²-（2.5-x）²，
x=0.9，
∴AH=0.9，
∴HE=AH+AE=0.9+1.5=2.4，
CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}-0．{9}^{2}}$=1.2，
在Rt△ECH中，EC=$\sqrt{C{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{1．{2}^{2}+2．{4}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
過F作FN⊥EC于N，過A作AT⊥EC于T，
由tan∠E=$\frac{CH}{EH}=\frac{FN}{EN}=\frac{1.2}{2.4}=\frac{1}{2}$，
設FN=a，則EN=2a，
∵∠ECF=45°，
∴△FCN是等腰直角三角形，
∴FN=NC=a，
∴EC=EN+CN=2a+a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
a=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
在△EFN中，FN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，EN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\sqrt{F{N}^{2}+E{N}^{2}}$=2，
∴AF=EF-AE=2-1.5=0.5；
②當E在線段AB上時，如圖2，
過C作CH⊥AB于H，
同理得：AH=0.9，CH=1.2，
∵AC=AE=1.5，
∴EH=AE-AH=1.5-0.9=0.6，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{1．{2}^{2}-0．{6}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠ECH=$\frac{EH}{CH}=\frac{1}{2}$，
過F作FN⊥EC于N，
∵∠ECF=45°，
∴△FCN是等腰直角三角形，
∴FN=CN，
∵∠FNC=∠EHC=90°，
∠NEF=∠HEC，
∴∠NFE=∠ECH，
∴tan∠NFE=$\frac{EN}{FN}=\frac{1}{2}$，
∴FN=CN=2EN，
∴CE=EN=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{F{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=3，
∴AF=AE+EF=1.5+3=4.5，
綜上所述，AF的長為0.5或4.5；
解法二：分兩種情況：
①當E在BA的延長線上時，如右圖1，
設∠E=x°，則∠ACE=x°，∠ACF=45°-x°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°-（45°-x°）=45°+x°，
∵∠CFB=∠E+∠ECF=45°+x°，
∴∠BCF=∠CFB，
∴BC=BF=2，
∴AF=AB-BF=2.5-2=0.5；
②當E在線段AB上時，如右圖2，
設∠AEC=x°，則∠ACE=x°，
∴∠BCE=90°-x°，
∴∠BCF=∠ECF-∠BCE=45°-（90°-x°）=x°-45°，
∵∠F=x°-45°，
∴∠F=∠BCF，
∴BC=BF=2，
∴AF=AB+BF=2.5+2=4.5，
故答案為：0.5或4.5．

點評 本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質和判定、同角的三角函數，熟練掌握勾股定理列方程是關鍵，恰當地作輔助線是本題的突破口，有難度，同時要注意“E、F均在直線AB上”，根據數形結合采用分類討論的思想解決問題．